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相对论性电子在磁镜中的运动规律与特征

更新时间 2010-12-9 10:12:32 点击数:

    山西大学学报(自然科学版)33(4): 556~559, 2010Journal ofShanxiUniversity(Nat. Sc.i Ed. )   文章编号:0253-2395(2010)04-0556-04收稿日期:2010-04-03;修回日期:2010-05-06作者简介:高文安(1955-),男,山西五台人,副教授,主要从事工业设备安装工程技术专业教学研究和教学管理工作. E-mai:l gaowenan@ 126. com
      相对论性电子在磁镜中的运动规律与特征
     高文安(山西建筑职业技术学院,山西太原030006)
      摘 要:基于非相对论性电子在磁镜中的运动,通过估计电子的电磁辐射所带来的辐阻尼力的影响,对相对论性电子在磁镜中的运动进行修正,从而得到在磁镜中相对论性电子的运动规律,并讨论了磁镜中相对论性电子的运动特征.
     关键词:磁镜;电磁辐射;电磁阻尼
    中图分类号:O412   文献标识码:A
    0 引言
    磁镜是一种具有旋转对称特征的梯度磁场,沿着对称轴,磁感应强度具有“强-弱-强”的分布.磁镜通过带电粒子在缓变磁场中的磁矩守恒效应来约束等离子体,在受控热核聚变中有重要的应用.带电粒子一旦进入磁镜, (一定条件下)就在磁镜的两个强极之间往返运动,通常称之为磁镜约束.在受控热核反应的实验研究中,磁镜捕获已成为约束等离子体的重要方法[1, 2]磁镜场在约束利用低能非中性等离子体产生的反氢原子[3-5]以及利用等离子体增强化学气相沉积薄膜[6]的技术方面有广泛应用.地磁场就是一个自然的磁镜,宇宙射线一旦射入,就会在磁镜的两极来回反射,形成一个辐射带,称为范阿伦辐射带.该辐射带的基本形态分为两部分:内辐射带和外辐射带.内辐射带大约1~2个地球半径之间,电子在内辐射带的能量可以达30兆电子伏特,在这种情况下,带电粒子在磁镜中的运动必须考虑其相对论效应.
    要得出带电粒子在磁镜场中的严格运动方程的解会遇到数学上的困难,因此,对磁场的参数加以限制是必要的,在讨论磁镜的标准做法中,往往假设磁感应强度在带电粒子的一个回转过程中的变化可以忽略,即磁感应强度的梯度足够小,事实证明实际情况也是如此.在经典情形(低速)下,电子的动能守恒,因而电子的磁矩μ是寝渐不变量.但在相对论的情形下并非如此,所谓寝渐不变量,是指那些在磁场随时间或空间缓慢变化过程中近似为常数的那些物理量.经典粒子在磁镜中运动的特征有: (1)电子做螺旋线运动, (2)磁矩μ是寝渐不变量, (3)磁场的径向分量Br是小量, (4)磁镜比:R=BM/B0,入射角tanθ=v⊥/v∥(垂直于轴线的速率与平行与轴线的速率之比).如图1,当sinθ≥R-12时,粒子将反射.于是R(或θ=arcsinR-12)决定了速度空间中的逃逸锥(如图2),当粒子的合速度位于锥内时,粒子将穿过磁镜.
    1 电子运动的经典近似方程
    量子效应、相对论效应使得要得到相对论电子的严格的运动方程的解具有严重的数学困难.为此可以先求出经典电子运动方程的近似解[7],然后再考虑相对论效应,对电子的运动加以修正,从而了解相对论效应对电子运动的影响.
    图3 电子入射初速度及磁场
    Fig. 3 Incident velocity of electron and themagnetic field设电子(如图3)在z=0处射入.在柱坐标系中,电子的初速度为v 0=v⊥0φ+v∥0k^;入射角为θ;由于Br为小量,所以磁场沿z轴方向的梯度为K= B z≈ B∥ z,为了简化,设K为常数; z处的磁感应强度为B(z)≈B∥(z)(即磁感应强度的径向分量为小量).t时刻的磁感应强度记为B(t),电子的磁矩为常量μ,电子的静质量为m0,t=0时,电子距z轴的距离为r(0).由于能量守恒和磁矩不变12m0v∥(t)2+12m0v⊥(t)2=E, (1)μ=e2πr(0) /v⊥0πr(0)2=12er(0)v⊥0=12er(t)v⊥(t). (2)电子向在垂z方向做圆周运动,向心力mv⊥(t)2r(t)≈ev⊥(t)B∥(t),而轴向运动方程为m0dv∥(t)dt=-ev⊥(t)B∥(t).磁场满足 ·B→=0,在柱坐标系的形式1r(t) r(r(t)Br(t))+ B∥ z=0.于是有r(t)Br(t) =-∫r(t) B∥ zdr(t)≈-K∫r(t)dr(t) (3)所以Br(T)≈-Kr(t) /2.再利用轴向运动方程、磁矩不变方程和能量守恒可以得到粒子的运动方程v∥(t) =v∥0-Kμm0t (4)v⊥(t) = v20-(v∥0-Kμm0t)2(5)z(t) =v∥0t-Kμ2m0t2(6)r(t) =2μe1v20-(v∥0-Kμt/m0)2(7)2 相对论效应对粒子运动的影响在相对论情形,电子的质量增大且与速度有关,动力学方程需要修正.同时由于电子在磁场中做加速运动辐射的电磁场不可忽略,电子因辐射而受到额外的辐射阻尼力.由于电子的量子行为和相对论效应,电子的运动方程比较复杂,但我们可以通过电子的经典运动方程(4)-(7)来近似地得到电子的电磁辐射能量分布,进而来估计电子受到的辐射阻尼,从而修正电子的运动.
    首先不考虑辐射,能量守恒仍然成立,电子的运动质量m=m0/ 1-v2/c2,在此种情况下,先将经典运动方程(4)-(7)中的m0替换为m,得到修正后的运动方程:v∥(t) =v∥0-Kμmt, (8)v⊥(t) = v20-(v∥0-Kμmt)2, (9)z(t) =v∥0t-Kμ2mt2(10)r(t) =2μe1v20-(Kμt/m)2. (11)  然后对各种速度的电子进行试探地计算,进而来决定辐射阻尼的影响大小,决定其能否忽略.下面用以上得到的“运动方程”来对电子的辐射来进行估计.电磁辐射的功率为dWdt=-q26πε0c3.v→2-(v→c×.v→)2(1-β2)3, (12)其中加速度.v→=.v→⊥+.v→∥,径向加速度|.v→⊥|=v→2⊥r(t)=e2μ[v20-(v∥0-Kμt/m)2]32,轴向加速度|.v→∥|=Kμ/m,径向与轴向加速度比η=.v→⊥.v→∥=2B20eKmβcsin4θ[1-(cosθ-Kβcsin2θ2B0t)2]32(13)取β=0.8, t=1×10-9s, (此时v∥减为零所需的时间约为τ=v∥0mKμ≈9×10-9s),并使用文献[8]中的磁镜参数得η=71.36.由此可见,加速度的方向主要在电子做螺旋运动的回转平面(垂直于z轴)内,所以加速度的方向与速度方向可以看成垂直,于是辐(v→c×.v→)2≈(B.v)2,电磁辐射的功率简化为dWdt=-q2.v26πε0c3(1-β2)2(14)  记辐射阻尼力为F→reac,于是可以利用-F→reac·v→=dWdt来估计辐射阻尼力的大小.为了估计F→reac与v→的夹角,先来计算电子的辐射角分布,以估计辐射阻尼力的方向.带电粒子辐射能量的角分布的一般公式为:dW*(θ)dΩ=q216π2ε0c3Rs5·|R→×[(R→-v→Rc)×.v→] |2(15)式中R→为θ方向的某一位矢,

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