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微积分的产生、发展及其经济应用

更新时间 2011-8-7 17:27:17 点击数:

    田杰摘要:微积分学是微分学和积分学的总称,结合实际,针对微积分的产生、发展及其经济应用进行论述。 
     关键词:微积分;产生;发展;应用
    1微积分学的产生与发展
    微积分学是微分学和积分学的总称,微分学的主要内容包括:极限理论、导数、微分等,积分学的主要内容包括:定积分、不定积分等。它是建立在实数、函数和极限的基础上的。客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着。在数学中引入了变量的概念后,就把运动现象用数学来加以描述了。函数概念就这样产生了。我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,这是很典型的极限概念。以下四种主要类型的问题:第一类:变速运动求即时速度的问题。
    第二类:求曲线的切线的问题。
    第三类:求函数的最大值和最小值问题。
    第四类:求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。这些科学问题需要解决是促使微积分产生的因素。许多著名的科学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
    微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。到19世纪初,法国科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。此后,微积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。
    并在这些学科中有越来越广泛。
    2微积分在经济中的应用
    2.1微分在经济中的应用2.1.1边际分析在经济分析中的的应用设需求函数在点p处可导(其中Q为需求量,p为商品价格),则其边际函数称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数可导(其中Q为供给量,P为商品价格),则其边际函数称为边际供给函数,简称边际供给总成本函数C=C(Q),边际成本函数C'=C'(Q),总收益函数R=R(Q),边际收益函数R'=R'(Q)。
    利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q),边际利润函数L'=L'(Q)=R'(Q)-C'(Q)。
    例1、企业每月生产Q(吨)产品的总成本C(万元)是产量Q的函数,如果每吨产品销售价格3万元,求每月生产5吨、9吨、13吨时的边际利润。
    解:每月生产Q吨产品的总收入函数为:则每月生产5吨、15吨、25吨的边际利润分别为:L'(10)=-2×5+18=8(万元/吨);
    L'(15)=-2×9+18=0(万元/吨);
    L'(20)=-2×13+18=-8(万元/吨);
    以上结果表明:当月产量为5吨时,再增产1吨,利润将增加8万元;当月产量为9吨时,再增产1吨,利润则不会增加;当月产量为13吨时,再增产1吨,利润反而减少8万元。
    显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么企业如何获得最大利润呢?2.1.2弹性分析在经济分析中的的应用经济学中有需求弹性和收益弹性,这里仅以需求弹性为例。
    需求弹性是需求量对价格的相对变化率。设需求函数,由于价格上涨时,商品的需求函数为单调减少函数,定义需求对价格的弹性函数为例2、设商品的需求函数为,求:(1)需求弹性函数;
    (2)时的需求弹性。
    解:
    (1)(2),说明当P=2时,价格上涨1%,需求只减少0.4%,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
    说明当P=5时,价格上涨1%,需求只减少1%,价格与需求变动的幅度相同。
    说明当P=6时,价格上涨1%,需求减少1.4%,需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
    微分在经济中的应用还体现在用于求成本最低、利润最大等这里不再赘述。
    2.2积分在经济中的应用
    在经济生活中,由边际函数求总函数(即原函数),一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分;如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。
    例3、企业生产x个产品的边际成本C=200+2x,其固定成本为2000元,每个产品价格为600元。假设生产出的产品完全销售出去,问产量为多少时利润最大?并求出最大利润。
    解:总成本函数为
    总收益函数为总利润令此时总利润函数有最大值。
    即
    应用定积分分析出利润最大,多增加产量不一定增加利润,只有合理安排产量,才能取得最大的利润。这也回答了前面的问题。
    综上所述,不难看出数学来源于生活,在生活实际中发展起来,又应用于生活为生活服务。
    作者简介:田杰(1965~),女,1987年毕业于锦州师范学院数学系数学专业;任职于辽宁职业学院,高级讲师。

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