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常微分方程教学改革的探索

更新时间 2009-12-24 11:49:55 点击数:

常微分方程教学改革的探索
蓝师义(广西民族大学数学计算机科学学院,广西南宁 530006)
摘 要:常微分方程是高等院校数学与应用数学专业及信息与计算科学专业的主要课程之一.文章针对常微分方程教学中存在的矛盾和问题,结合其特点,提出了教学内容与教学方法改革的一些设想和建议,探讨常微分方程教学改革之路,以促进大学生独立思考能力和创新能力的培养,提高课堂教学质量.
关键词:常微分方程;专业基础课;教学改革
常微分方程是基础数学的一个组成部分,在整个数学大厦中占据着重要位置.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中,大量存在满足常微分方程关系式的数学模型,需要我们通过解常微分方程来了解函数的性质.因此,常微分方程是解决实际问题的重要工具.随着数学在现代社会中的作用和地位的不断凸显,如何对这门课程的教学进行改革和调整,必然引起高校教学工作者的深切关注.
1 课程的重要性
对于数学与应用数学专业及信息与计算科学专业的大学生来说,常微分方程是一门极其重要的专业基础课.其重要性主要表现如下:第一,它起着承前启后的作用.也就是,对于数学分析和线性代数而言,它是后续课程,因为数学分析中的积分理论和线性代数方程(或方程组)理论是求解常微分方程的基础.常微分方程的教学可以检查大学生对所学过的数学分析和线性代数等知识的掌握程度及应用能力.一般说来,对这两门课程学得比较好的学生,在学习常微分方程时感到比较轻松,反之就感到比较困难;另一方面,常微分方程又是进一步学习偏微分方程及相关学科的基础,因为偏微分方程的求解问题通常经过适当的变换归结为常微分方程的求解.所以,常微分方程的教学进程对后续课的教学产生直接、重要的影响,它不仅在内容上为后续课程的学习提供了必要的基础知识,而且它所体现的分析数学思想、逻辑推理方法和处理问题的技巧,在整个数学学习和科学研究中起着奠基作用.
第二,常微分方程模型是数学建模的重要的基本内容之一.随着大学生数学建模竞赛的普及,并成为高等院校提高质素教育及教学改革的重要手段,而且研究生数学建模竞赛也已开展.因此,这门课程的地位和作用将显得越来越突出.
第三,常微分方程是硕士研究生入学复试的笔试科目.数学各专业(例如,基础数学、应用数学和计算数学等)的研究生的入学复试一般都考这门课程.随着就业压力增大,考研的大学生越来越多,于是,这门课程的教学关系到考研的升学率.也就是,对打算继续深造的大学生来说,这门课程是非常重要的,因为这是他们进一步从事数学及其应用研究必不可少的基础.所以,如何对常微分方程的教学进行改革,提高课堂教学质量,激发大学生的学习兴趣,促进大学生基本数学素养的形成和提高,是每一位一线教师都应关心的问题.
2 教学中存在的矛盾和问题
(1)联系具体实际问题比较少.常微分方程是与现实世界联系较为密切的一门数学分支,然而担任这门课程的一线教师常常忽略了这一点,其表现在教学内容的处理方面,只注重讲授微分方程的基本概念、基本理论及其解法,而不讲或略讲常微分方程模型的建立方法及方程的实际意义.事实上,很多的常微分方程反映的是物理、力学、社会、生物、化学及气象中的关系模型等.弄清楚这些具体问题对于培养学生对常微分方程的学习兴趣是极其重要的,因为这使他们认识到求解常微分方程的过程实质上就是解决实际问题的过程.
(2)大学生学习积极性不太高,对知识缺乏融会贯通.目前大学生学习积极性不太高似乎是一种普遍的现象,表现为平时提问题的学生比较少,做习题也只限于教师布置的作业.这原因是多方面的,例如就业压力大,学得好的不一定能找到好工作,当然这与教师的课堂教学的引导也有很大关系.在教学过程中,从一章节到另一章节,学生很少能发现它们之间的联系,看不到知识的总体,相关知识点之间的融会贯通的能力差;一本书学完后,心里没有知识的整体框架,不知道到底学了什么,学它有什么用.
(3)教学内容的处理不太合理.其主要表现在,很多重要的基础内容(可能难一些)教师在课堂上不讲或简单提一下,还有一些重要定理(例如,微分方程解的存在唯一性,解对初值的连续依赖性定理等)的证明过程不讲或略讲.然而继承性因素在数学学科上表现比较突出,如果没有把前面的知识弄清楚,要想学好后面的内容是不可能的.另外,对于常微分方程这门课程来说,有些定理的证明过程往往是很重要的,首先,它给出了如何运用所学过的知识去解决一些未知问题的技巧;其次,所采用的一些方法也具有十分重要的实际的意义,例如,逐步逼近法思想,它具体地提供了求微分方程近似解的一种途径.
(4)使用教学方法不太恰当.其主要表现为,第一,课堂教学上往往呈现“老师在上面讲,学生在下面记”的情形.这样的教学完全忽视了学生学习的积极性,扼杀了学生的创新意识和创新能力;在习题的解答上也是老师代替学生独立思考问题,给学生造成一种“老师是学生最好的习题集”的思想.考题大都是课本上的例题和平时的作业题,导致学生在学习过程中平时不努力,临时抱佛脚.使学生形成“为了考试和学分而读书”的不良局面.第二,灵活性不够,授课方式单一,忽略了课堂教学应以学生为中心.
(5)学时减少与教学内容不变的矛盾.和其他学科一样,常微分方程这门课程也面临着学时减少与教学内容不变的矛盾.也有一个观点认为,按给的学时来上课,讲到哪里就算哪里,其余的让学生自学.然而,根据以往的经验,如果老师没有讲的内容,绝大多数学生不会自己去看,更何况很多内容如果没有教师的指导,学生自己是看不懂的,尤其对理科学生而言.
因此,如何在学时减少的情况下,保证完成教学任务,提高这门课程的教学质量,是每一个任课教师都应思考的问题.
3 教学改革的一些设想和建议
每一门学科都有它的特点,常微分方程的特点应该是实际、计算和理论.实际是指常微分方程与客观实际联系紧密,因为常微分方程关系式反映的是客观实际中量与量之间的联系;计算是指我们研究常微分方程的目的就是要求出或计算它的解;理论是指常微分方程解的存在唯一性及稳定性理论等,因为很多情形下不能直接求出微分方程的解,而只能讨论其似近解或似近计算,这些理论是其数值计算的依据与基础.常微分方程的教学改革应从其特点出发,以实际效果为主,而不是片面强调教学形式.因此,针对上面谈到存在的矛盾与问题,在教学过程中我们可以采取以下措施:
(1)注重阐明微分方程的来源与背景.教师在讲授常微分方程的过程中,应让学生加深了解许多实际问题可以转化为对常微分方程的求解,例如,人口模型、传染病模型、天气预报模型与两生物种群生态模型等,都是常微分方程模型,讨论这些问题就归结为求解常微分方程的问题.多介绍一些微分方程的来源与应用背,让学生认识到微分方程的重要性及其广泛应用性,感受到微分方程的魅力,培养学生学习微分方程的兴趣和信心.
(2)注重教学方式的师生互动性.常微分方程教学方法改革的核心是如何在教学过程中真正充分发挥学生的主体作用,让学生自主学习、自主探索,把通过直接经验获得掌握知识作为一种重要方式.在课堂教学中,让学生事先自学,然后先解决某些基本概念、基本问题,学生自已挖掘各种问题带入课堂,让学生充分参与到教学过程中来.从背景、相关问题的引入到解决,步步向学生提出问题、设置疑问,激发学生的好奇心和求知欲,启发学生一步一步分析问题,让学生参与讨论,动脑、动嘴、动手,营造师生平等的课堂环境,从而培养学生自主学习、探索问题的能力.

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