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方向导数及其几何意义

更新时间 2011-10-27 14:19:26 点击数:

    方向导数及其几何意义黄晓红1胡振华2摘要:对比方向导数与导数的定义,指出二者之间的区别,并揭示了方向导数与可微的关系,给出了方向导数的计算方法,并明确了其几何意义。
     关键词:方向导数;方向余弦;偏导数;几何意义
    二元函数的方向导数比较抽象,学生理解起来比较困难,学习过高数的学生大部分都有此看法,更有学生在课堂上发微博“大家都在认真听高数,有几个听得懂呢”。下面将个人理解的方向导数,整理如下,望能对象牙塔内的学子有所帮助。
    学习方向导数必须要有空间解析几何的知识为基础,例如向量的方向角、方向余弦,此外,必须熟练掌握二元函数的偏导数,理解它们的定义及掌握其计算方法。理解方向导数首先要明白方向导数与一元函数的导数及二元函数偏导数的不同。方向导数也是导数,是二元函数沿着任意一个指定方向上的变化率,而一元函数的导数和二元函数的偏导数都是函数沿着坐标轴的变化率,这一点从定义上可以看出来。
    设軆l是xoy平面上以P
    0(x0,y0)为始点的一条射线,e軆l=(cosα,cosβ)是与軆l同方向的单位向量,则射线軆l的参数方程为:x=x0+tcosαy=y0+tcos軆β(t>0)这个定义给出了特定方向軆l上任一点的坐标。
    设二元函数z=(fx,y)在点P(0x0,y0)的某个邻域U(P0)内有定义,点P(x0+tcosα,y0+tcosβ)是軆l上的任意一点,当P沿軆l趋于P0(即t→0+)时,极限limt→0(fx0+tcosα,y0+tcosβ)-(fx0,y0)t为函数z=(fx,y)在点P(0x0,y0)沿方向軆l的方向导数,记作鄣f鄣l(|x0,y0)。即鄣f鄣l|(x0,y0)=limt→0(fx0+tcosα,y0+tcosβ)-(fx0,y0)t由方向导数的定义,可以看出方向导数是刻画函数沿着方向軆l在点P(0x0,y0)的瞬时变化率,可以对比一元函数y=(fx)的导数定义:dydx|x=x0=limΔx→0(fx0+Δx)-(fx0)Δx是y=(fx)沿x轴的变化率。
    当函数z=(fx,y)在点(x0,y0)的偏导数都存在时,函数在点(x0,y0)沿方向軆l=軆i(此时,α=0,β=π2)的方向导数为鄣f鄣l|(x0,y0)=limt→0(fx0+t,y0)-(fx0,y0)t=f(xx0,y0)沿方向軆l=軆j(此时,α=π2,β=0)的方向导数为鄣f鄣l|(x0,y0)=limt→0(fx0,y0+t)-(fx0,y0)t=f(yx0,y0)即沿x轴与y轴的方向导数都是存在的,而当方向导数存在时,偏导数是不一定存在的,例如函数z=姨x2+y2在点(0,0)处沿方向軆l=軆i的方向导数为:鄣f鄣l|(0,0)=limt→0(f0+t,0)-(f0,0)t=limt→0姨t2t=limt→0tt=1而在点(0,0)处,极限limt→0(f0+t,0)-(f0,0)t=limt→0姨t2t=limt→0|t|t不存在,即z=姨x2+y2在点(0,0)处的偏导数不存在。原因在于偏导数是双向极限问题,而方向导数是单向极限问题。故在上例中沿不同方向的方向导数都是存在的,而偏导数不存在。在什么的条件下函数(fx,y)在点P0(x0,y0)沿任意方向軆l的方向导数存在呢?事实上,有如下定理成立:定理设函数(fx,y)在点P(0x0,y0)可微分,则函数(fx,y)在该点沿任意方向軆l的方向导数存在,且鄣f鄣l|(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+f(yx0,y0cosβ)其中,cosα,cosβ是方向軆l的方向余弦。
    此定理称为方向导数存在的充分条件,提供了求沿某一方向的方向导数的简捷方法。
    例:求函数(fx,y)=x2-xy+y2在点(1,1)沿与x轴夹角为α的方向导数。
    解由方向导数的计算公式可知
    鄣f鄣l(|1,1)=f(x1,1)cosα+f(y1,1)cosβ=(2x-y)(|1,1)cosα+(2y-x)(|1,1)sinα=cosα+sinα=姨2sin(α+π4)故当α+π4时,方向导数取最大值姨2;当α=5π4时,方向导数取最小值-姨2;当α=3π4和α=7π4时,方向导数的值为0。
    对此可推广得三元函数方向导数的定义:对于三元函数u=(fx,y,z),在空间一点P(0x0,y0,z0)沿方向軆l的方向导数,可定义为鄣f鄣l|(x0,y0,z0)=limt→0(fx0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)-(fx0,y0,z0)t其中α,β,γ为軆l的方向角。
    同理,当函数u=(fx,y,z)在此点可微时,那么函数在该点沿任意方向軆l的方向导数都存在,且有鄣u鄣l|(x0,y0,z0)=fx(x0,y0,z0)cosα+f(yx0,y0,z0)cosβ+f(zx0,y0,z0)cosγ方向导数的定义及其充分条件,指出了什么是方向导数及其计算方法,但是方向导数有什么实际的意义,就要从它的几何意义上来理解。我们知道,导数和偏导数都是切线相对于坐标轴的斜率,方向导数其实也是斜率。
    设z=(fx,y)是空间中的曲面,PQ是xoy平面上的一条直线,过PQ与xoy平面垂直的平面和曲面交于曲线MN。当N→M时,MN变成切线,而方向导数正式曲线MN上过点M的切线和xoy平面夹角的正切值,这就是方向导数的几何意义。

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