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一类冲击振动系统的稳定性研究

更新时间 2009-12-21 11:19:44 点击数:

一类冲击振动系统的稳定性研究
张晓娟,王 艳(兰州交通大学机电工程学院,兰州 730070)
摘 要:建立了冲击消振器周期运动的Poincaré映射方程,通过数值仿真研究了一类带线性振子的冲击消振器的周期运动向混沌运动演化的全局分岔过程,对其分岔与混沌行为的研究为工业实际中含间隙机械系统和冲击振动系统的优化设计提供了理论依据.
关键词:碰撞振动;分叉;混沌
中图分类号:O322 文献标识码:A文章编号:1673-8462(2009)03-0073-04
0 引言
冲击振动是我们日常生活和生产实际中经常见到的一种现象.在机械生产过程中,有些构件之间会出现复杂的冲击振动,这会缩短机器寿命,影响机械加工质量,降低机械及电子产品的使用性能,对动载荷和系统的动态特性产生不良影响.碰撞振动也是造成许多机械部件损坏的主要原因之一.当然,振动也有可以利用的一面,有些冲击机械和装置是利用碰撞振动达到预期工作目的的,如工业上常用的振动落砂机、冲击消振器、振动输送机、振动锤等等即这方面的典型例子.碰撞振动问题的研究对含间隙机械系统和冲击振动系统的动力学优化设计、可靠性及降低噪声等都具有重要的意义.近年来,愈来愈多的学者开始研究碰撞振动系统,对这类冲击动力系统的周期运动因失稳而产生非共振、强共振Hopf分岔和Hopf-Flip分岔,并导致混沌等问题进行了深入地研究,取得了新的进展.文献[1-2]研究了冲击消振器的振动和概周期碰撞运动,文献[3]研究了两自由度碰撞振动系统周期倍化分岔及拟周期分岔通向混沌的非典型演化路径,此外,碰撞振动系统的分岔与混沌控制的研究也全面展开[4].
1 周期运动及其Poincaré映射
图1为一个冲击消振器的力学模型.质量为M1的振子分别由刚度为K1的线性弹簧和阻尼系数为C1的线性阻尼器联接于支承,并受简谐激振力P1sin(ΩT+τ)的作用.质量为M2的振子分别由刚度为K2的线性弹簧和阻尼系数为C2的线性阻尼器联接于质量为M1的振子,并受简谐激振力P2sin(ΩT+τ)的作用.线性振子M2在振子槽中做水平方向的运动.当质块M2的位移X2(t)等于间隙B时,质块M2与将与约束A发生碰撞,改变速度方向后,又以新值运动,然后再次与约束A碰撞,如此往复.
任意相邻两次碰撞之间冲击振动系统的无量纲运动微分方程为:式中“·”表示对无量纲时间t求导数.式(1)中,无量纲量为:根据动量守恒定律和碰撞恢复系数的定义,质块M1和M2的冲击方程及碰撞恢复系数R为式中,.xi-和.xi+(i=1,2)分别表示质块M1和M2碰撞前后的瞬时速度在适当的系统参数条件下,图1冲击振动系统的运动能够呈现出周期冲击行为.用q=p/n表示系统的周期运动,p表示碰撞次数,n表示力周期数.
周期q=1/n运动意指如果在质块M1与质块M2碰撞后瞬时,设无量纲时间t为0,那么在下一次两质块相互碰撞前瞬时,无量纲时间t恰好为2πn/ω(n=1,2,…).令θ=ωt,选取Poincaré截面:σ={(x1,.x1,x2,.x2,θ)∈R4×S,x1-x2=δ,.x1=.x1-,.x2=.x2-},构造含间隙振动系统Poincaré映射:
2 数值仿真
2.1 倍化分岔的存在性
当映射线性化矩阵Df(ε,0)的全部特征值都位于单位圆内时,映射(4)式的不动点是稳定的.在临界值ε=ε0的某个邻域内,ΔX=0总是映射(4)式的不动点,若在ε=ε0处,映射线性化矩阵Df(ε,0)有一个特征值λ1(ε0)=-1,而其他特征值都位于单位圆内,则不动点失稳将可能产生周期倍化分岔.
2.2 数值仿真
满足2.1节条件情况下,映射(4)式发生倍周期分岔,将形成倍周期分岔序列选取系统参数μm=3·0,μk1=7·0,μk3=7·0,ζ=0·2,δ=0·01和R=0·8,当激振频率ω0=2.79648时,Df(ε,0)有一个特征值λ1=-1.0000001,另外一个负实特征值和一对复共轭特征值位于单位圆内.映射(4)式满足倍化分岔条件,当参数ω>ω0时系统发生倍周期分岔,Poincaré截面上不动点失稳逐渐形成稳定的周期2,4,8,…点,其倍周期分岔序列结果如图2.
从图2可以看出,当ω∈[2.7,2.796]时,系统具有稳定的周期q=1/1运动.随激振频率ω的递增,q=1/1周期运动发生周期倍化分岔,q=1/1运动经Feigenbaum倍化分岔序列通向混沌.图3(a)~(e)分别给出了系统的q=1/1,q=2/2,q=4/4,q=8/8周期运动和混沌运动的相平面图.
3 结论
本文以带线性振子的冲击消振器为研究对象,分析了该碰撞振动系统周期运动的稳定性与全局分岔,通过数值仿真研究了含间隙碰撞振动系统周期运动经倍化分岔向混沌转迁的全局分岔过程,这为以后对类似系统进行混沌控制和更深层次的理论研究奠定了基础.
[参 考 文 献]
     [1]Barbara Blazejczyk-Okolewska. Analysis of an impact damper of vibrations[M].Chaos, Solitons and Fractals, 2000:1983-1988.
    [2]罗冠炜,徐 岩,谢建华.冲击消振器的概周期碰振运动分析[J].爆炸与冲击,2003 ,23 (4) :360 -366.
    [3]Wen G L ,Xie J H. Period2doubling bifurcation and non-typical route to chaos of a two?degree -freedom vibro-impact system [J].AS- MEJournal of Applied Mechanics, 2001,68(4) :670-674 .
    [4]Guanwei Luo , Xiaohong Lv. Controlling bifurcat- ion and chaos of a plastic impact oscillator[M].Nonlinear Analysis: Real World Applica- tions,2008: 9-18. 返回栏目页:自动化专业论文

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